一类多项式系统的中心焦点及Hopf分支问题
　　[摘 要]文章研究了一类多项式系统:dxdt=-y+δx+lx2+mxy+ax3,dydt=x+b1xy+b2xy2+…+bnxyn(bn≠0)基于Liapunov形式级数法理论,得到了O(0,0)是该系统的焦点或中心的一个充分条件,同时分析了该系统依赖于参数δ的Hopf分支问题其补充了文献[5]的结论.
　　[关键词]多项式系统;焦点或中心;Liapunov形式级数;Hopf分支
　　1 引言文[1-4]提出了相伴系统的概念并详细研究了二次系统的相伴系统的极限环问题.2011年,文献[5]讨论了一类自治多项式系统dxdt =-y+δx+lx2+mxy+ax3dydt =x+b1xy+b2xy2+…+bnxy烅烄烆n(1)其中,参数δ,l,m,a是任意实常数,参数bi(i=1,2,…,n-1)是任意实常数,且bn≠0.在文献[5]中,首先给出了系统(1)的相伴系统dxdt =-y+δx+lx2+mxy+ax3dydt =烅烄烆x(2)其中,参数δ,l,m,a 是任意实常数.其次,给出了系统在O(0,0)的焦点量公式,得出在δma=0时系统(1)至多有一个极限环的结论.但未深入研究系统(1)的奇点O(0,0)类型和依赖于参数δ的Hopf分支问题.
　　基于以上提出的问题,本文主要利用Liapunov法,再次研究系统(1),得到了O(0,0)是系统(1)的焦点或中心的一个充分条件,并讨论了系统(1)依赖于参数δ的Hopf 分支问题,其结论是文[1]中的很好补充.
　　2 主要结果为了详细地研究系统(1)的拓扑结构,我们先来考察一类来自(1)的线性多项式平面自治微分子系统dxdt =-y+δx =P(x,y)dydt =x =Q(x,y烅烄烆)(3)其中,参数δ是任意常数.
　　令P(x,y)=-y+δx =0Q(x,y)=x = { 0,易知,微分系统(3)有唯一的奇点O(0,0).
　　引理1:考虑自治微分系统(3),那么,(I)若|δ|≥2,则O(0,0)为结点;(II)若0<|δ|<2,则O(0,0)为焦点.
　　证明:(3)的系数矩阵为A =δ -1 ( ) 10,进一步,特征多项式det(λE -A)=λ-δ 1-1 λ=0,计算可得,λ1=δ-槡δ2-42,λ2=δ+槡δ2-42.
　　(I)因为|δ|≥2,不妨假设δ<-2,对δ≥2的情况可类似考虑.显然,此时A 的特征值都有负实部,且λ1<λ2<0.于是,当δ<-2时,O 为结点.
　　(II)因为0<|δ|<2,不妨假设0<δ<2,对-2<δ<0的情况可类似考虑.显然,此时A 的复特征值都有正实部.于是,当0<δ<2时,O 为焦点.
　　由于δ≠0,知Re(λi)≠0,(i=1,2),这表明奇点是初等奇点且非中心,假若给系统(3)附加非线性项lx2+mxy+ax3 和b1xy+b2xy2+…+bnxyn,就可以获得系统(1).应用文献[6]中定理4.7,我们有如下定理:
　　定理1:对于自治微分系统(1),我们有,(I)若|δ|≥2,则O(0,0)为结点;(II)若0<|δ|<2,则O(0,0)为焦点.
　　通过前面的分析,借助处理焦点或中心问题的Liapunov形式级数法理论[7],我们有如下定理:
　　定理2 对于自治微分系统(1),我们有,(I)若|δ|≥2,则O 为结点;(II)若0<|δ|<2,则O(0,0)为焦点;(III)若δ=0,则当l=0时,有(i)若a>0,则原点O(0,0)为一阶稳定的细焦点;(ii)若a<0,则原点O(0,0)为一阶不稳定的细焦点;(iii)若a=0,则原点O(0,0)为中心.
　　证明:由定理1,(I),(II)得证.
　　现在,我们给出(III)的证明如下:
　　假设形式级数F(x,y)=x2+y2+Σ∞k=3Fk(x,y),其中,Fk(x,y)是x,y的一个k次齐次式,k=3,4,…于是,dFdt (1.1)=(2x+F3x +F4x + ) … xt(+2y+F3y +F4y + ) … yt= 2x+F3x +F4( x + ) … (-y+mxy+ax3)+ 2y+F3y +F4( y + ) … (x+b1xy+b2xy2+…+bnxyn).(4)显然,上式(4)的右边关于x,y 的二次齐次式恒等于零,即-2xy+2xy =0令(4)的右边关于x,y 的三次齐次式等于零,有xF3y -yF3x =-2mx2 y-2b1xy2 (5)引入极坐标变换x=rcosθ,y=rsinθ,0≤θ≤2π,消去r3,(5)将改变成dF3(cosθ,sinθ)dθ =-2mcos2θsinθ-2b1cosθsin2θ.
　　根据∫2π0(-2mcos2θsinθ-2b1cosθsin2θ)dθ=0,且导入另一极坐标变换x =cosθ,y =sinθ,0≤θ≤2π,结果有,F3(cosθ,sinθ)=23mcos3θ-23b1sin3θ进而,F3(x,y)=23mx3-23b1y3.
　　限制式(4)右边x,y 的四次齐次式等于零,可以有xF4y -yF4x =-2m2 x3y-2ax4+2(b21-b2)xy3(6)假设极坐标变换x=rcosθ,y=rsinθ,0≤θ≤2π,消去r4,那么D4 = dF4(cosθ,sinθ)dθ = - 2m2cos3θsinθ -2acos4θ+2(b21-b2)cosθsin3θ.
　　自然地,可以得到如下结论:
　　(A)当a≠0时,∫2π0D4dθ=-2a∫2π0cos4θdθ=-32πa≠0.于是,改写F4,使得,dF4(cosθ,sinθ)dθ =D4-C4,其中,C4 =-a π∫2π0cos4θdθ,且C4同参数a的符号相反.
　　假设珟Φ(x,y)=x2+y2+F3+F4,那么d珟Φdt (1.1 =C4r4+o(r4).
　　进而,有结果(a)当a>0时,原点O(0,0)是一阶稳定的细焦点;(b)当a<0时,原点O(0,0)是一阶不稳定的细焦点.
　　(B)当a=0时,那么,F4(x,y)=12m2 x4+12(b21-b2)y4假定(4)式右边关于x,y 的五次齐次式为零,则xF5y -yF5x = -mxyF4x -b1xyF4y -b2xy2F3y -2b3xy4.不失一般性,令α=-2(b31-2b1b2+b3),通过直接的简单计算,易知F5(x,y)=25m3 x5+15αy5更进一步,设定(4)式右边关于x,y 的六次齐次式是零,有xF6y -yF6x =-2m4 x5 y-[b1α+2b2(b21-b2)-2b1b3+2b4]xy5.
　　一般地,选择参数β=-[b1α+2b2(b21-b2)-2b1b3+2b4],那么,F6(x,y)=13m4 x6+β6y6.
　　固定(4)式右边关于x,y 的七次齐次式为零,则xF7y -yF7x = -mxyF6x -b1xyF6y -b2xy2F5y -b3xy3F4y -b4xy4F3y -2b5xy6=-3m5 x6 y-[5b1β+b2α+2b3(b21-b2)-2b1b4+2b5]xy6.
　　导入实参数γ=-[5b1β+b2α+2b3(b21-b2)-2b1b4+2b5],于是F7(x,y)=37m5 x7+17γy7最后,令(4)式右边关于x,y 的八次齐次式恒为零,那么xF8y -yF8x = -mxyF7x -b1xyF7y -b2xy2F6y -b3xy3 F5y -b4xy4 F4y -b5xy5 F3y-2b6xy7=-3m6 x7 y+ωxy7,其中,ω=-[b1γ+b2β+b3α+2b4(b21-b2)-2b1b5+2b6].
　　经过积分运算和极坐标变换,可以有F8(x,y)=38m6 x8+18ωy8基于Liapunov形式级数理论自然证得当a=0,原点O(0,0)是中心.
　　注:当δ=l=0时,微分系统(1)在有限远奇点O(0,0)处的拓扑结构,完全决定于参数a的符号定理3:考虑自治微分系统(1),那么(I)若l=0,a<0,则当-1<δ0时,在原点O(0,0)的外围至少存在(1)的一个不稳定极限环;(II)若l=0,a>0,则当0<δ1时,在原点O(0,0)的外围至少存在(1)的一个稳定极限环.
　　证明:我们只证明情形(I),情形(II)类似可得.
　　根据定理1,易知原点O (0,0)是系统(1)-2<δ<0的一稳定粗焦点,当l=0,a<0,且参数δ从-1增大到0时,O(0,0)变成系统(1)δ=l=0的一不稳定细焦点.
　　应用Hopf 分支理论,在原点O(0,0)的外围至少存在(1)的一个不稳定极限环.
　　定理4 当δ,lm,a均为非负(或非正)实常数,且δ2+l2+a2≠0时,系统(1)在整个实平面上必存在一条无切直线证明:当m≠0时,令E(x)=mx-1=0,则有dE(x)dt (1.1)=mdxdt=m(-y+δx+lx2+mxy+ax3)=δ+lm +am2由此可知,x=1m是系统(1)于命题相应条件下的无切直线3 结束语本文研究了一类平面多项式微分系统在有限奇点O(0,0)的拓扑结构,给出了判定其为焦点或中心的一个充分条件,讨论了系统的Hopf 分支问题其结果是文[5]的很好补充.
　　[参 考 文 献]
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　　[3] 谢向东,陈凤德.一类三次系统的极限环个数与奇点分支[J].
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　　[4] 谢向东,陈凤德.一类具有两虚不变直线的三次系统的极限环与分支[J].数学物理学报,2005,25A(4):538-545.
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