论文摘要：对于泰勒公式而言，由于其淋漓尽致地体现了逼近法的精髓，因而在各个领域中的各个方面均有着十分重要的应用。本文重点就泰勒公式的几种证明形式进行了分析，并就其在不等式、函数极限等方面的推广及应用情况进行了研究。

关键词：泰勒公式；证明；应用
　　中图分类号：O172 文献标识码：A 文章编号：1674-7712 （2013） 04-0166-01

泰勒公式是数学分析过程中的重要公式之一，因而在数学中占有极为重要的地位。通常而言，一般性的数学分析教材中均采用的是柯西中值定理来对泰勒公式进行证明，此种方法也广为人知，但是，其实泰勒公式还可以采用其他多种证明形式进行证明。鉴于此，本文采用多种形式对泰勒公式进行了证明，并就其在多个领域中的应用推广进行了研究。

（一）采用完全归纳法对泰勒公式进行证明
　　定理：对于任何函数f（x）而言，只要其在a点处存在着直到n阶为止的导数，则a点附近的f（x）就可采用如下公式进行表达：

（二）采用积分法对泰勒公式进行证明
　　采用积分法不仅可以巧妙地证明泰勒公式，还可以得出几个结论，其定理如下所示：
　　定理：假设[a，b]区间内函数f（x）具有直到n阶的连续导数，而在（a，b）内也存在着n+1阶的导数，此时，对于任意一个给定的x而言，x0∈（a，b），则f（x）可以表示为一个余项所得结论如下：其他的余项中只知ξ∈（a，b），此时有xn→x0（n→+∞）；由公式（1）可知，重积分型余项可推出皮亚诺型余项，因此，也可推出其他各类余项公式的形式。
　　以上所述两种方法主要是以不同角度对泰勒公式进行了证明，虽然其形式发生了改变，但是总体内涵保持不变，因而体现了变化中求思想精髓的基本证明思路，因而较容易被理解。

二、泰勒公式的应用推广

（一）采用带有皮亚诺型余项的泰勒公式可进行函数极限的求取

（二）采用泰勒公式可对积分等式进行证明
　　除此以外，对于判断级数的收敛性、近似值的求解、行列式的求解等等多个方面均需要借助于泰勒公式进行计算和求解，由此可见，泰勒公式具有十分广泛的应用，本文重点就上述几个常见领域的应用及推广进行了分析，由于泰勒公式多个领域均有应用，这里就不再进行一一叙述了。

参考文献：
　　[1]潘红，储亚伟.关于泰勒（Taylor）公式的几点应用[J].科技资讯，2010（18）：247-250.
　　[2]刘瑜.泰勒公式在n阶行列式计算中的应用[J].内江师范学院，2011（8）：222-224.