摘 要:本文从极限思想的运用、微积分思想的运用、数学建模思想的运用、数形结合思想的运用、化归思想的运用五方面分析了高等数学思想在“用数学”过程中的运用。
关键词:用数学 数学思想
培养学生“用数学”的能力,不仅表现在培养学生对数学理论知识的运用能力,更要注重培养学生对高等数学思想方法的运用能力。
一、极限思想的运用
社会的发展催生了极限思想的产生,科技的进步促进了极限思想的完善,该思想用常量研究变量,由有限研究无限,由规则研究不规则,它以发展变化的眼光来看待处理问题,是思维方式由量到质的飞跃。极限思想在现代数学、工程学科乃至社会生活中有广泛的应用。当我们在“用数学”过程中,遇到不容易找到解决途径时,则可以运用极限思想,一般过程是:弄清实际问题要解决的未知量;为方便研究未知量,假设新的条件;在新的条件下,根据“常量代替变量”“直线代替曲线”“均匀代替非均匀”等思路构造函数,使得该函数在自变量无限变化时的结果就是要求的未知量。如:高等数学中导数、定积分、级数收敛的定义;几何中曲线某点的切线斜率、曲线的弧长;物理中变速直线运动的瞬时速度、加速度,变力做功,实心带电球体表面处的电势、电场强度,长直载流导线产生的磁场分布;经济问题中瞬时增长率、连续复利;化学中一些平衡问题;建筑学中洞室工程安全系数;发动机极限功率的测试等等问题。这些问题都是运用极限思想方法加以解决的。
二、微积分思想的运用
“分割,局部取近似;求和,极限求精确”是微积分思想的简要概况。微积分思想是一种实用性很强的思想方法,在数学的发展史上举足轻重,它的创立改变了数学世界,它贯穿于整个微积分学知识体系中。微积分学在现实应用中的地位与日俱增,它广泛应用于天文学、力学、物理学、生物学、工程学、经济学以及社会科学等领域,微积分思想在“用数学”过程中发挥着重要作用。其解决问题的一般过程是:
1.分割
将研究范围分成若干个小区间。
2.取近似
在分割后的小区间内取所求量对应的近似值。
3.求和
对小区间内所取的近似值进行累加。
4.取近似
将累加值取极限以求精确值。如物理中的运动问题、气体问题、电路问题,不规则物体的重心;化学色谱图的定量分析;经济学中的边际分析、弹性分析,最值分析、最优化设计;天气预报中流体力学的应用;工程力学中剪应力、梁的变形、结构位移、梁及刚架的平移;运动学中曲线轨迹求解(如篮球投篮训练中的应用),军事中计算导弹的轨迹,工程中弯道的曲线;机电工程技术中多种振动现象的研究;电工电子学中振荡电路的研究;环境问题中烟尘浓度的测定;建筑工程中异形体构造物的施工设计,平行条件的校核、影响线的应用、水准面曲率对水平距离的影响、圆曲线的详细测设、道路施工竖曲线的测设等等。
以求水对闸门的压力为例:
设有一等腰三角形闸门(如左图),垂直置于水中,底边与水面相齐,已知闸门底边长为a(单位:m),高为h(单位:m),试求闸门所受的水压力。
解:建立直角坐标系。
已知:压强与水深成正比,故沿水平方向分割闸门,分割后宽度为dx,即积分变量为x。
对应小区间〔[x,x+dx]〕,闸门上有高为dx的小条,其所受的水压力的近似值为△F≈dF=agx(1-)dx(kN)
于是整个闸门所受水压力为
F=∫ho agx(1-)dx=ag[-]h0
三、数学建模思想的运用
“学数学”的最高境界是“用数学”,在架设数学知识与实际应用之间的桥梁中,数学建模是最有效的方法之一。数学建模就是用数学知识解决实际问题,其思想方法是:首先对实际问题进行分析,把其中的各种关系用数学的语言进行描述,即构建数学模型,由此,就将实际问题的解决转化为数学问题的求解,然后选择合适的数学方法进行运算,最后,将数学运算结果与实际情况进行校对、验证、修改,从而使实际问题得以解决。因此,运用数学建模思想解决实际问题的一般步骤是:问题分析—模型假设—模型建立—模型求解—模型检验—模型应用。在现代生活的各个方面,数学建模思想都有具体的应用,有生物数学模型、医学数学模型、地质数学模型、数量经济学模型、数学社会学模型等。如:SARS传播、醉酒驾车、长江水质污染、风险投资、DVD在线租赁、描述药物浓度在人体内的变换规律以分析药物疗效、气象预报、人口预测、生产计划、资源配置、运输网络规划、水库优化调度、生产过程的最优控制等等都是通过建立不同的数学模型得以解决的。
以判断一起交通事故是否与酒驾有关为例:若血液中酒精含量超过80%(mg/ml)即属于酒驾,现有一起交通事故,司机血液内酒精含量在事发3小时后测得为56%(mg/ml),5小时后,酒精含量降为40%(mg/ml)。试判断,事故发生时司机是否构成酒驾?
经过分析,假设事故发生时,时间为t=0,x(t)为t时刻血液中酒精含量的浓度,只需求出x(0)即可。依据平衡原理以及导数的定义,得到dx/dt=-kx,且满足x(3)=56,x(5)=40,由此,构建了数学模型,将实际问题转化为数学问题。运用数学知识,求解得到x(0)约等于93.25%,超过80%。通过建立数学模型,帮助警方顺利判断出是否该对司机进行处罚。
四、数形结合思想的运用
数与形是数学中的两个最基本的研究对象,数形结合思想概况为:“以数辅形、以形助数”,其表现形式是将抽象的数学语言与直观的图像相结合,从而实现代数问题与几何问题的转化。数形结合思想主要用于解决数学问题,解决方式一般是用数的精确表达图形的特征或者利用图形特征反映数之间的变化关系。解析几何就是数形结合的典范,再如方程、不等式、复数、三角函数的求解,概率论性质的理解,以及函数定义域、值域、极限、导数、极值、最值、凹凸性、定积分、级数等,无不渗透着数形结合的思想,用数形结合思想解决的范例不胜枚举。
五、化归思想的运用
化归思想表现为:由陌生化为熟悉,由复杂化成简单,由抽象化成直观,由不确定化为确定。常见具体形式有:数数转化,形形转化,数形转化,理论与实际的转化等。化归思想在数学解题中无处不在,三角函数,解析几何,线性代数、微积分等数学理论无不渗透着转化的思想,数学建模中模型的建立正是化归思想的运用。如:通过按行按列展开,将阶数较高的行列式化为阶数较低的行列式;求极限中,通过等价无穷小替换将复杂函数转化为简单函数,将∞—∞、0∞、1∞等未定型转化为可求解的0/0或∞/∞型;求不定积分中,通过换元简化积分难度;无穷级数中,利用比较审敛法判断正项级数的敛散性等等。
综上所述,高等数学思想方法无论在数学本身还是生活实际中都有着广泛的应用,充分理解并灵活运用好这些思想方法,不仅有助于提高“学数学”的能力,而且还可以大大提高“用数学”的能力。
参考文献:
[1]王桂珍主编.高等数学[M].济南:山东人民出版社,2009.
[2]李佐锋.数学建模[M].长春:东北师范大学,2005.
1、最快当天审稿 最快30天出刊
易品期刊网合作杂志社多达400家,独家内部绿色通道帮您快速发表(部分刊物可加急)! 合作期刊列表
2、100%推荐正刊 职称评审保证可用
易品期刊网所推荐刊物均为正刊,绝不推荐假刊、增刊、副刊。刊物可用于职称评审! 如何鉴别真伪期刊?
都是国家承认、正规、合法、双刊号期刊,中国期刊网:http://www.cnki.net 可查询,并全文收录。
3、八年超过1万成功案例
易品期刊网站专业从事论文发表服务8年,超过1万的成功案例! 更多成功案例
4、发表不成功100%全额退款保证
易品期刊网的成功录用率在业内一直遥遥领先,对于核心期刊的审稿严格,若未能发表,全额退款! 查看退款证明